作業環境では、
外観 ＞ エディター ＞ パターン の上部に「テンプレートパーツ一覧」が表示され、その中にあるヘッダーパーツを選択すると、ブロックエディタで編集が可能になりますが、手順はあっていますでしょうか。

はい、基本的にはその手順であっていると思います！
一応マニュアルもあるので共有します。

ヘッダーのカスタマイズ – WordPress テーマ unitone

unitone.2inc.org

あとはテンプレートパーツにいかなくても、外観→エディターからサイトエディターを開いた状態（トップページが表示される）で、ヘッダー部分をポチポチしても編集できます。という感じで色々な場所から触れちゃうのが逆にわかりにくくもあると思うのですが、WordPress の公式ドキュメントでも明確にこれが手順だとはでていないと思うので、ご自身がわかりやすい方法で編集するのが良いのかなと思います。

その場合、右上のPCマークがグレーアウトしていて選択できず、スマホ表示時のデザインをPC版と変更したい場合、どのようにすればよいのかが不明です。

すみません、「PCマークがグレーアウト」というのがちょっとわからなかったのですが、「スマホ表示時のデザインと PC 表示時のデザインを変える」というのは具体的にどう変えたいかで方法が違ってくるかなと思います。

例えばよしなに縮めたり広げたりしたい、程度であれば unitone のブロックを使ったり、ちょっと CSS を追加するくらいで実現できるかもしれませんが、CSS だけでは実現できない（HTML レベルで構造が違わないと実現できない）ものの場合は、WordPress や unitone の標準機能だけでは実現できません。なので例えば PC 用のヘッダーとスマホ用のヘッダーをつくって、それを CSS で出し分けるとか、そういう工夫が必要になるのかなと思います。

なるほどです。デフォルトではスマホサイズでハンバーガーボタン（二本線）になります（この unitone 公式サイトもそうなっています）。

三本線にするには、ナビゲーションブロックを選択し、設定パネルの「アイコンボタンを表示」→「アイコン」で三本線を選択してください。